Шансы и математическое ожидание

26 января 2017

Кого же пугает сухая, научная лекция,
кому не нравится, тот может не слушать и выйти. А.П. Чехов

Речь здесь пойдет о расчете математического ожидания (преимущества казино) для разных ставок в рулетке, и что определяет это преимущество.

Для примера возьмем Американскую рулетку, т.е. мы имеем колесо с 38 номерами (0, 00, 1 - 36) и 11 различных вариантов ставок.

Предположим, что игра ведется честно, колесо хорошо сбалансировано, дилер не мухлюет, игроки не тащат фишки со стола и т.д.

В этом случае, как учит нас Теория вероятностей, мы имеем дело с независимыми событиями. Т.е. исход каждого броска шарика никак не связан с предыдущим результатом и не влияет на следующий. Это значит, что даже если десять раз подряд выпало ЧЕРНОЕ, шансы получить КРАСНОЕ при следующем броске те же, что и получить ЧЕРНОЕ.

Вероятность выпадения определенного номера - 1 из 38 или 37 к 1. Другими словами, если Вы делаете ставку в 1 рубль на определенный номер, из тридцати восьми бросков Ваша ставка сыграет 1 раз (конечно, такой результат мы получим проведя огромное количество испытаний, но для нашего примера и так сойдет). Выплата, в случае выигрыша составит 35 к одному, вы получите свой рубль назад плюс 35 сверху. В общем, после 38 восьми ставок Вы потеряете 38 - 26 = 2 рубля. Что составляет 5,26% от суммы сделанных ставок. Таким образом, преимущество Казино составит 5,26%.

В таблице ниже приведены варианты всех возможных ставок и выигрышей после 38 бросков.

Ставка Ставим на Выплата Шансы Игрок выиграл, раз Казино выиграло, раз Сумма выигрыша Игрока Сумма выигрыша Казино Прибыль (38 игр) Преим. Казино
Внутренние ставки
Straight up один номер 35:1 38:1 1 37 35 руб 37 руб 2 руб 0.0526
Split Bet два номера 17:1 38:2 2 36 34 руб 36 руб 2 руб 0.0526
Street Bet три номера 11:1 38:3 3 35 33 руб 35 руб 2 руб 0.0526
Corner четыре номера 8:1 38:4 4 34 32 руб 34 руб 2 руб 0.0526
Five Numbers пять номеров 6:1 38:5 5 33 30 руб 33 руб 3 руб 0.0789
Line Bet шесть номеров 5:1 38:6 6 32 30 руб 32 руб 2 руб 0.0526
Внешние ставки
Column двенадцать номеров 2:1 38:12 12 26 24 руб 26 руб 2 руб 0.0526
Dozen двенадцать номеров 2:1 38:12 12 26 24 руб 26 руб 3 руб 0.0526
Red or Black одинадцать номеров 1:1 38:18 18 20 18 руб 20 руб 2 руб 0.0526
Even or Odd восемнадцать 1:1 38:18 18 20 18 руб 20 руб 2 руб 0.0526
Low or High восемнадцать 1:1 38:18 18 20 18 руб 20 руб 2 руб 0.0526

С одним исключением, преимущество казино составляет 5,26%. Исключение - это ставка на пять номеров, где преимущество выше, и составляет 7,89%.

Эти величины, можно рассчитать и другим способом. Формула Математического ожидания выглядит следующим образом:

Мат.Ожидание = [Число благоприятных исходов / Число возможных исходов] X Выплата при благоприятном исходе + [Число неблагоприятных исходов / Число возможных исходов] X Ставка

Если Вы делаете ставку в 1 рубль:

Ставка на один номер
Straight up = (1/38) x 35 + (37/38) x (-1) = -2/38 = -0.0526 или (-5.26%)

Ставка на пять номеров
Five numbers = (5/38) x 6 + (33/38) x (-1) = -3/38 = -0.0789 или (-7.89%)

Ставка на КРАСНОЕ - восемнадцать номеров
Red bet = (18/38) x 1 + (20/38) x (-1) = -2/38 = -0.0526 или (-5.26%)

Отрицательный результат объясняется тем, что мы рассчитали математическое ожидание для игрока, который делает ставку. Поменяйте знак, и получите то, что называют преимуществом казино.

Что эти цифры означают на практике? На каждую ставку в 1 рубль, казино ожидает получить как минимум 5 копеек.

Мало? Тогда понаблюдайте, какие суммы проходят через руки кассира в приличном казино.

И не удивляйтесь тому, что Крупье стремится сделать как можно больше бросков шарика в ограниченном временном интервале.